
\documentclass{article}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

%Отделение формул в тексте
\mathsurround=3pt

%Русские кавычки
%левая
 \def\rql{\mbox{\strut\smash{\raisebox{-1.4ex}{''}}\hspace{-0.05em}}}
%правая
 \def\rqr{\mbox{\hspace{0em}``}}

%Размеры страницы
 \textwidth=17.5cm
 \oddsidemargin=-1cm
 \textheight=25.4cm
 \topmargin=-2.9cm  % для моих распечаток дома
 %\topmargin=-3.9cm   % для моих распечаток на кафедре

%Отступ в начале абзаца и расстояние между абзацами
\parindent=0pt
\parskip=5pt

%Расстояние от текста до сносок
\setlength{\skip\footins}{25pt plus 4pt minus 4pt}

%Оформление нижних колонтитулов
\makeatletter
\renewcommand{\@oddfoot}{--- ~Март 2002 г.~ ---\hfil
\raisebox{0.3ex}{\tiny --- ~Д.~А.~Арбатский~ \rql КЭД. II.
Неоднозначность выбора лагранжиана.\rqr~ ---}\hfil --- ~\thepage~
---}
 \makeatother

\begin{document}

%Настройка счётчика и заголовка "Пункт".
\newcounter{parnum}
\newlength{\picwidth}
\newcommand*{\myparagraph}[1]{\refstepcounter{parnum}%
\paragraph{\arabic{parnum}. #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{О квантовании электромагнитного поля.\\
       II. Неоднозначность выбора лагранжиана.}
\author{Д.~А.~Арбатский\footnote{ http://daarb.narod.ru/ , http://wave.front.ru/ }}
\date{Март 2002 г.}
\maketitle

\begin{abstract}
Показано, что добавление к лагранжиану дивергенции некоторой
функции не меняет симплектической структуры на инвариантном
фазовом пространстве.
\end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\myparagraph{Предварительные замечания.}
 Как известно, к одной и той же динамике могут приводить
различные выборы лагранжиана. Простейшей подстановкой такого рода
является линейная замена:
\[
 L\,\longrightarrow\,L'=\alpha L   \ .
\]
Поскольку в данном цикле статей мы изучаем вопросы квантования и
нормируем действие на постоянную Планка, $\hbar=1$, то указанный
произвол в нашем рассмотрении отсутствует.

Есть однако другой существенный произвол, заключающийся в
добавлении к лагранжиану полной дивергенции\footnote{В принципе,
существуют и другие, более сложные подстановки, которые ввиду
своей сложности практической роли обычно не играют.}:
\begin{equation}
 L\,\longrightarrow\,L'=L+\partial_\mu F_\mu   \ ,
\label{LPlusDiv}
\end{equation}
где $F_\mu$~--- некоторая векторная функция от координаты $x$ и
полевых переменных $\varphi_i(x)$.

В общем случае лагранжиан может содержать производные от поля по
координатам выше первого порядка. Мы будем здесь иметь в виду
такую возможность и будем считать, что функция $F_\mu$ также может
зависеть от производных поля по координатам.

Поскольку подстановка (\ref{LPlusDiv}) не меняет динамики, она
оставляет инвариантное фазовое пространство $Z$ неизменным. Сейчас
мы покажем, что при этом также остаётся неизменной и
симплектическая структура на $Z$. Это фактически приводит к тому,
что весь инвариантный гамильтонов формализм к такой добавке
нечувствителен. А поскольку квантование осуществляется на основе
инвариантного гамильтонова формализма, то отсюда последует, что и
конструкция квантованного поля при подстановке (\ref{LPlusDiv}) не
меняется.

Доказать неизменность симплектической структуры, исходя из формулы
для симплектического тока, представляется затруднительным. В связи
с этим мы напомним здесь, как определяется симплектическая
структура непосредственно в вариационных терминах
\cite{Witten1986,Crnkovic1987,Zucker1987,CrWitt1987,%
Crnkovic1988,BHS1991}.

Рассмотрим действие в произвольной области $\Omega$:
\begin{equation}
 S = \int\limits_\Omega d^4\!x\,
     L(x,\varphi_i,\partial_\mu\varphi_i,\dots,
       \partial_{\mu_1}\dots\partial_{\mu_k}\varphi_i) \ .
\label{SInOmega}
\end{equation}
Его вариация, если область не меняется, равна:
\begin{equation}
 \delta S = \int\limits_\Omega d^4\!x\,
 \left(\frac{\delta L}{\delta\varphi_i}\,\delta\varphi_i +
       \partial_\mu j_\mu\right)   \ ,
\label{VarSInOmega}
\end{equation}
Здесь
\[
 j_\mu =
 \frac{\delta L}{\delta(\partial_\mu\varphi_i)}\,\delta\varphi_i +
 \dots +
 \frac{\delta L}
      {\delta(\partial_\mu\partial_{\mu_2}\dots
              \partial_{\mu_k}\varphi_i)}\,
 \partial_{\mu_2}\dots\partial_{\mu_k}\delta\varphi_i   \ .
\]
Вариационная производная при этом понимается как
\[
 \frac{\delta}{\delta a} =
 \frac{\partial}{\partial a} -
 \partial_\mu\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu a)} +
 \partial_\mu\partial_\nu
    \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu a)} -
 \dots    \ .
\]
Действие (\ref{SInOmega}) может рассматриваться как функционал на
множестве функций $\varphi_i$. Используя тождество $\delta^2=0$,
получаем:
\[
\int\limits_\Omega d^4\!x\,
 \left(\delta\left(\frac{\delta L}{\delta\varphi_i}\,
                   \delta\varphi_i\right) +
       \partial_\mu\delta j_\mu\right) = 0  \ .
\]
Если здесь рассматривать варьирование только функций $\varphi_i$,
для которых действие стационарно, то первый член  в последнем
уравнении зануляется. Отсюда получаем, что симплектическая
структура, задаваемая на $Z$ как
\[
 \omega = \int\limits_\Sigma d\sigma_\mu\,\delta j_\mu(x) \ ,
\]
не зависит от выбора пространственно-подобной поверхности $\Sigma$
(предполагается, что $\Sigma$ ведёт себя достаточно хорошо на
бесконечности).

Посмотрим теперь, как изменятся приведённые уравнения при
подстановке (\ref{LPlusDiv}).

Вариация нового действия $S'$ может быть записана аналогично
формуле (\ref{VarSInOmega}):
\[
 \delta S' = \int\limits_\Omega d^4\!x\,
 \left(\frac{\delta L'}{\delta\varphi_i}\,\delta\varphi_i +
       \partial_\mu j'_\mu\right) =
 \int\limits_\Omega d^4\!x\,
 \left(\frac{\delta L}{\delta\varphi_i}\,\delta\varphi_i +
       \frac{\delta(\partial_\mu F_\mu)}{\delta\varphi_i}\,
              \delta\varphi_i +
       \partial_\mu j'_\mu\right)      \ .
\]
Но $\delta(\partial_\mu F_\mu)/\delta\varphi_i = 0$.
Следовательно,
\begin{equation}
 \delta S' = \int\limits_\Omega d^4\!x\,
 \left(\frac{\delta L}{\delta\varphi_i}\,\delta\varphi_i +
       \partial_\mu j'_\mu\right)      \ .
\label{VarSDash1}
\end{equation}
С другой стороны, эта же вариация может быть записана в терминах
старого действия:
\begin{equation}
  \delta S' = \delta S +
     \int\limits_\Omega d^4\!x\,\partial_\mu\delta F_\mu    \ .
\label{VarSDash2}
\end{equation}
Комбинируя (\ref{VarSDash1}) и (\ref{VarSDash2}) с
(\ref{VarSInOmega}), получаем:
\[
 \int\limits_\Omega d^4\!x\,
  (\partial_\mu j'_\mu -
    \partial_\mu j_\mu - \partial_\mu\delta F_\mu) = 0 \ .
\]
Поскольку в этом уравнении все три функции $j'_\mu$, $j_\mu$ и
$\delta F_\mu$ локальные (т.~е. они обращаются в ноль в тех
областях, где $\delta\varphi_i=0$), отсюда следует:
\[
 \int\limits_\Sigma d\sigma_\mu\,
 (j'_\mu - j_\mu - \delta F_\mu) = 0 \ .
\]
Величину $F_\mu$ можно рассматривать как функционал на множестве
функций $\varphi_i$. Используя тождество $\delta^2=0$, получаем:
\[
 \int\limits_\Sigma d\sigma_\mu\,\delta j'_\mu(x) =
 \int\limits_\Sigma d\sigma_\mu\,\delta j_\mu(x)   \ .
\]
Т.~е. преобразование (\ref{LPlusDiv}) оставляет симплектическую
структуру на $Z$ неизменной:
\[
 \omega' = \omega  \ .
\]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Witten1986}
E.~Witten ``Interacting field theory of open superstrings'', Nucl.
Phys. {\bf B276}, 291-324 (1986).

\bibitem{Crnkovic1987}
\v{C}.~Crnkovi\'c ``Symplectic geometry and (super-) Poincar\'e
algebra in geometrical theories'', Nucl. Phys. {\bf B288}, 419-430
(1987).

\bibitem{Zucker1987}
G.~J.~Zuckerman ``Action principles and global geometry'', in {\it
Mathematical aspects of string theory}, ed. S.~T.~Yau, Singapore:
World Scientific, 259-284 (1987).

\bibitem{CrWitt1987}
\v{C}.~Crnkovi\'c, E.~Witten ``Covariant description of canonical
formalism in ge\-om\-e\-tri\-cal theories'', in {\it Three hundred
years of gravitation}, eds. S.~W.~Hawking, W.~Israel, Cambridge:
Cambridge univ. press, 676-684 (1987).

\bibitem{Crnkovic1988}
\v{C}.~Crnkovi\'c ``Symplectic geometry of the covariant
phase-space'', Class. Quant. Grav. {\bf 5}(12), 1557-1575 (1988).

\bibitem{BHS1991}
G.~Barnich, M.~Henneaux, C.~Schomblond ``Covariant description of
the ca\-non\-ic\-al formalism'', Phys. Rev. D {\bf 44}(4),
R939-R941 (1991).

\end{thebibliography}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
