
\documentclass{article}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

%Отделение формул в тексте
\mathsurround=3pt

%Русские кавычки
%левая
 \def\rql{\mbox{\strut\smash{\raisebox{-1.4ex}{''}}\hspace{-0.05em}}}
%правая
 \def\rqr{\mbox{\hspace{0em}``}}

%Размеры страницы
 \textwidth=17.5cm
 \oddsidemargin=-1cm
 \textheight=25.4cm
 \topmargin=-2.9cm  % для моих распечаток дома
 %\topmargin=-3.9cm   % для моих распечаток на кафедре

%Отступ в начале абзаца и расстояние между абзацами
\parindent=0pt
\parskip=5pt

%Расстояние от текста до сносок
\setlength{\skip\footins}{25pt plus 4pt minus 4pt}

%Оформление нижних колонтитулов
\makeatletter
\renewcommand{\@oddfoot}{--- ~Март 2002 г.~ ---\hfil
\raisebox{0.3ex}{\tiny --- ~Д.~А.~Арбатский~ \rql КЭД. III.
Формула для генераторов\dots\rqr~
---}\hfil --- ~\thepage~ ---}
 \makeatother

\begin{document}

%Настройка счётчика и заголовка "Пункт".
\newcounter{parnum}
\newlength{\picwidth}
\newcommand*{\myparagraph}[1]{\refstepcounter{parnum}%
\paragraph{\arabic{parnum}. #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{О квантовании электромагнитного поля.\\
       III. Формула для генераторов инфинитезимальных\\
       линейных канонических преобразований.}
\author{Д.~А.~Арбатский\footnote{ http://daarb.narod.ru/ , http://wave.front.ru/ }}
\date{Март 2002 г.}
\maketitle

\begin{abstract}
Предложена формула для генераторов бесконечно малых линейных
симплектических преобразований инвариантного фазового
пространства. Обсуждаются применения этой формулы к классической и
к квантовой теории поля. Показано существование генераторов группы
симметрии для квантового случая.
\end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\myparagraph{Формула.}
 В статье [I] использовалась формула, дающая генераторы бесконечно
малых линейных преобразований для инвариантного гамильтонова
формализма. Ввиду важности и общности этой формулы, здесь будут
даны её вывод и обсуждение.

Итак, рассмотрим какое-нибудь линейное поле, описываемое
инвариантным гамильтоновым формализмом. Будем, для определённости,
искать для него генераторы группы Пуанкаре.

Поскольку симплектическая структура~$\omega$ инвариантного
фазового пространства~$Z$ предполагается
пу\-ан\-ка\-ре-инвариантной, группа Пуанкаре действует на~$Z$ как
непрерывная линейная симплектическая группа. Каждому бесконечно
малому преобразованию этой группы\footnote{То есть элементу её
алгебры Ли.} соответствует гамильтонов поток на~$Z$. Гамильтониан
этого потока является функцией на~$Z$. Обозначим её
$G^{\,\underline .}$. Найдём явный вид этой функции.

Во-первых, сразу ясно, что эта функция определена с точностью до
аддитивной константы. Эту константу мы зафиксируем условием
$G^{\,\underline 0}=0$, т.~е. функция равна нулю на нулевом
векторе пространства~$Z$. Выражаясь более физическим языком, мы
будем полагать, что вакуум классического поля обладает нулевыми
энергией, импульсом и~т.~п.

Зафиксируем теперь в пространстве~$Z$ точку $\underline c$. Вектор
скорости потока в этой точке обозначим~$\underline{\delta c}$.
Проведём из точки~$\underline0$ в точку $\underline c$ отрезок,
т.~е. рассмотрим множество точек вида $\alpha\,\underline c$,
$\alpha\in[0;1]$. Поскольку преобразования рассматриваемой группы
линейны, в точке $\alpha\,\underline c$ скорость потока равна
$\alpha\,\underline{\delta c}$. С~другой стороны, вектор скорости
потока связан с гамильтонианом соотношением:
\begin{equation}
 dG\big|_{\alpha\underline c}{}^{\underline b} =
 \omega^{\,\underline b\,;\,\alpha\underline{\delta c}} \ ,
\label{defg}
\end{equation}
выполняющимся для любого $\underline b\in Z$. Здесь левая часть
обозначает дифференциал функции $G^{\,\underline .}$, вычисленный
в точке ${\alpha\,\underline c}$ и взятый на векторе
 $\underline b$.

В качестве вектора~$\underline b$ в уравнении~(\ref{defg}) можно
взять вектор $d\alpha\,\underline c$:
\[
 dG\big|_{\alpha\underline c}{}^{d\alpha\underline c} =
 \omega^{\,d\alpha\underline c\,;\,\alpha\underline{\delta c}} \ .
\]
Используя билинейность формы $\omega$, перепишем это так:
\[
 dG\big|_{\alpha\underline c}{}^{d\alpha\underline c} =
 \omega^{\,\underline c\,;\,\underline{\delta c}}\ \alpha\,d\alpha \ .
\]

Интегрируя это соотношение по $\alpha$ в пределах от $0$ до $1$,
получаем формулу для генератора:
\begin{equation}
 \begin{array}{|ccc|}
 \hline
 \phantom{1} & & \phantom{1}\\
  & G^{\,\underline c} =
              \frac12\,
              \omega^{\,\underline c\,;\,\underline{\delta c}} & \\
 \phantom{1} & & \phantom{1}\\
 \hline
 \end{array}
\label{basf}
\end{equation}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\myparagraph{Применение к классической теории поля.}
 Не следует думать, что формула~(\ref{basf}) является просто
другой записью формулы Нётер. Во-первых, она работает только в
линейном случае. Во-вторых, она вовсе не предназначается для
поиска {\it интегралов движения}, ибо у линейных полей они и так
известны (уравнения движения решены). Несмотря на это,
формула~(\ref{basf}) оказывается очень удобной при практическом
применении по многим причинам.

Во-первых, её применять значительно проще. Во-вторых, в отличие от
формулы Нётер, она вовсе не привязана к координатному
представлению. Если вид симплектической структуры~$\omega$
известен, например, в фурье-представлении, и известно, как в этом
представлении действует рассматриваемая группа (например, группа
Пуанкаре), то генераторы получаются столь же просто, как и в
координатном представлении.

Кроме того, в статье~[II] мы видели, что структура инвариантного
гамильтонова формализма не меняется, если к лагранжиану добавить
полную дивергенцию. Поскольку формула~(\ref{basf}) записана
исключительно в терминах этого формализма, независимость
генераторов от указанной подстановки оказывается очевидной.

В качестве простейшего примера рассмотрим скалярное поле. В
статье~[I] мы видели, что в Фу\-рье-пред\-ста\-вле\-нии
симплектическая структура этого поля даётся формулой:
\begin{equation}
 \omega^{\,\underline\cdot\,;\,\underline\cdot} =
 \int d\mu_m \cdot i\,\varepsilon(k) \cdot
        a(-k)^{\,\underline\cdot} \, a(k)^{\,\underline\cdot} \ .
\label{sympl}
\end{equation}

Рассмотрим далее пространственно-временной сдвиг поля на
бесконечно малый вектор $\delta\varepsilon_\nu$. Состояние
$\underline c$ заменяется при этом на
 $\underline c + \underline{\delta c}$. При этом:
\[
 a(k)^{\,\underline{\delta c}} =
     i\,\delta\varepsilon_\nu\,k_\nu\,a(k)^{\,\underline c}\ .
% \qquad
% a^*(k)^{\,\underline{\delta c}} =
%     {}-i\,\delta\varepsilon_\nu\,k_\nu\,a^*(k)^{\,\underline c} \ .
\]
Подставляя это выражение в формулу~(\ref{basf}), с учётом
формулы~(\ref{sympl}), получаем:
\[
 G^{\,\underline c} =
   -\,{\textstyle\frac12}\,\delta\varepsilon_\nu
   \int d\mu_m \cdot \varepsilon(k) \cdot
   k_\nu\,a(-k)^{\,\underline c}\,a(k)^{\,\underline c} =
  {}- \delta\varepsilon_\nu \displaystyle\int d\mu^+_m \cdot
   k_\nu\, a^*(k)^{\,\underline c}\,a(k)^{\,\underline c} \ .
\]

Коэффициент при $\delta\varepsilon_\nu$ обозначим теперь как
$-P_\nu$. Опуская аргумент $\underline c$, имеем формулу для
вектора энергии-импульса:
\begin{equation}
 P_\nu =
   {\textstyle\frac12}
   \int d\mu_m \cdot \varepsilon(k) \cdot k_\nu\,a(-k)\,a(k) =
   \int d\mu^+_m \cdot k_\nu\, a^*(k)\,a(k) \ .
\label{MomScalF}
\end{equation}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\myparagraph{О генераторах в квантовой теории поля.}
 В статье~[VI] мы опишем, каким образом осуществляется построение
квантовых полей. Обсудим здесь, каким образом обстоят дела с
поиском генераторов в квантовом случае.

Аналога теоремы Нётер в квантовой теории поля, насколько мне
известно, до сих пор не предложено\footnote{Многие очень
авторитетные авторы утверждают обратное. Я позволю себе их мнение
по данному вопросу проигнорировать.}.

Заметим однако, что в случае инвариантного квантования полей в
соответствии со схемой, изложенной в статье~[VI], действие группы
инвариантности естественно переносится на квантовое пространство
состояний $\mathcal H$. Причём это действие унитарно (в случае
индефинитного скалярного произведения~--- псевдоунитарно).

Если скалярное произведение в $\mathcal H$ является
положительно-определённым, то в соответствии с теоремой Стоуна
имеем самосопряжённый квантовый генератор. Если же скалярное
произведение в $\mathcal H$ индефинитно, то дело обстоит столь же
просто, но нужно вводить специальную математическую терминологию.

Таким образом, генераторы группы инвариантности могут быть строго
введены и в квантовом случае.

Представляет интерес получить для квантовых генераторов также
какие-нибудь удобные формулы.

Поскольку вакуум $|\,0\,\rangle$ квантованного поля остаётся при
вышеуказанном действии группы симметрии инвариантным, то чисто
формально, классические выражения типа (\ref{MomScalF}) нужно
просто записать, произведя нормальное упорядочение соответствующих
операторов под знаком интеграла. В случае, если речь идёт о
пуанкаре-инвариантном квантовании скалярного поля, приводящем к
положительно-определённому скалярному произведению, получаем:
\begin{equation}
 \hat P_\nu = \int d\mu^+_m \cdot k_\nu\, \hat a^*(k)\,\hat a(k) \ .
\label{QuantMomScalF}
\end{equation}

При этом однако точный математический смысл приведённого
выражения не вполне ясен\footnote{Как будет ясно из обсуждения
квантования и топологических вопросов в статье [VI] символы вида
$\hat a^*(k)$ имеют ясный смысл после подходящего усреднения. В
приведённой же формуле производится интегрирование {\it
произведения} таких символов.}. Представляется актуальным
построить теорию интегралов вида (\ref{QuantMomScalF}) и показать,
что если подынтегральные выражения нормально упорядочены, то
получаются в точности введённые нами генераторы.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\begin{thebibliography}{99}

%\end{thebibliography}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
