
\documentclass{article}
\usepackage{amsfonts,hyperref}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

%Отделение формул в тексте
\mathsurround=3pt

%Русские кавычки
%левая
 \def\rql{\mbox{\strut\smash{\raisebox{-1.4ex}{''}}\hspace{-0.05em}}}
%правая
 \def\rqr{\mbox{\hspace{0em}``}}

%Выделение векторов
\newcommand*{\vect}[1]{{\mathsurround=0pt \mbox{\boldmath $#1$}}}

%Горизонтальная разделительная черта в матрицах
\newcommand*{\sepline}[0]{
\vphantom{\raisebox{-0.7ex}(} \\ \hline
\vphantom{\raisebox{1.0ex}(} }

%Размеры страницы
 \textwidth=17.5cm
 \oddsidemargin=-1cm
 \textheight=25.4cm
 \topmargin=-2.9cm  % для моих распечаток дома
 %\topmargin=-3.9cm   % для моих распечаток на кафедре

%Отступ в начале абзаца и расстояние между абзацами
\parindent=0pt
\parskip=5pt

%Расстояние от текста до сносок
\setlength{\skip\footins}{25pt plus 4pt minus 4pt}

%Оформление нижних колонтитулов
\makeatletter
\renewcommand{\@oddfoot}{--- ~Март 2002 г.~ ---\hfil
\raisebox{0.3ex}{\tiny --- ~Д.~А.~Арбатский~ \rql КЭД. IV. Теория
полевых представлений.\rqr~ ---}\hfil --- ~\thepage~ ---}
 \makeatother

\begin{document}

%Настройка счётчика и заголовка "Пункт".
\newcounter{parnum}
\newlength{\picwidth}
\newcommand*{\myparagraph}[1]{\refstepcounter{parnum}%
\paragraph{\arabic{parnum}. #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{О квантовании электромагнитного поля.\\
       IV. Теория полевых представлений.}
\author{Д.~А.~Арбатский\footnote{ http://daarb.narod.ru/ , http://wave.front.ru/ }}
\date{Март 2002 г.}
\maketitle

\begin{abstract}
Вводится понятие об индуцированном симплектическом представлении
группы Пуанкаре. Классические релятивистские поля рассматриваются
как такие представления. Описывается методика исследования этих
представлений в смысле их приводимости. Вводится понятие полевого
осциллятора как индуцирующей гамильтоновой системы.
\end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\myparagraph{Симплектические представления.}
 Группой Пуанкаре мы будем называть связную непрерывную
десятипараметрическую группу преобразований пространства-времени,
включающую в себя как однородные преобразования (группу Лоренца),
так и пространственно-временные сдвиги. Мы будем обозначать группу
Пуанкаре символом~$\mathcal P$.

Поскольку в данном цикле статей мы изучаем поля, которые
релятивистски инвариантны, всякое решение уравнений движения под
действием преобразования из группы Пуанкаре переходит в решение.
Таким образом, определяется действие группы Пуанкаре на
инвариантном фазовом пространстве~$Z$.

Более конкретно это действие можно описать так. Пусть задано
преобразование $g\in\mathcal P$. На точки про\-стран\-ства-времени
оно действует следующим образом:
\[
 x \ \to\ x'=gx \ .
\]
В пространстве, где лежат значения полевой функции~$\varphi_i$,
преобразование~$g$ действует так:
\[
 \varphi_i \ \to \ \varphi'_i= \Lambda_{ij}\,\varphi_j \ .
\]
Действие~$g$ в пространстве~$Z$ характеризуется формулами:
\begin{equation}
 \underline c \,\longrightarrow\,\underline{\smash{gc}} \ ,
 \qquad
 \varphi_i(x)^{\,\underline{\smash{gc}}} =
          \Lambda_{ij}\,\varphi_j(g^{-1}x)^{\,\underline c}    \ .
\label{Poin}
\end{equation}

Как уже было сказано в статье~[I], мы здесь будем иметь дело с
линейными полями. Действие группы Пуанкаре~$\mathcal P$, очевидно,
сохраняет линейную структуру в пространстве~$Z$. Таким образом, в
пространстве~$Z$ реализовано линейное представление группы
Пуанкаре.

Кроме того, группа Пуанкаре сохраняет в пространстве~$Z$
симплектическую структуру. Таким образом, мы приходим к линейным
{\it симплектическим\/} представлениям группы Пуанкаре
 $\mathcal P$. Связь симплектических представлений с унитарными
станет ясна, когда мы определим операцию квантования поля в
статье~[VI]. Из проведённого там рассмотрения станет ясно, что
симплектические представления, по-видимому, играют для теории поля
роль не менее важную, чем унитарные. Во-всяком случае, с
конструкцией квантованного поля они связаны более непосредственно.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\myparagraph{\protect\rql Приведение\rqr{} полевых представлений.}
\label{reduction}
 Рассмотрим теперь вопрос о приводимости полевых представлений
группы Пуанкаре~$\mathcal P$. Приводимость будет здесь пониматься
в комплексном смысле. Чтобы не комплексифицировать
пространство~$Z$, будем рассматривать комплексифицированное
сопряжённое пространство~$Z^*_{\mathbb C}$. В~$Z^*_{\mathbb C}$,
очевидно, действует сопряжённое представление группы~$\mathcal P$.
Чтобы определить это действие, нужно формулу~(\ref{Poin})
прочитать немного иначе:
\begin{equation}
 \varphi_i(x)^{\,\underline \cdot} \,\longrightarrow\,
     \big(g\,\varphi_i(x)\big)^{\,\underline \cdot} \ ,
 \qquad
 \big(g\,\varphi_i(x)\big)^{\,\underline c} =
          \Lambda_{ij}\,\varphi_j(g^{-1}x)^{\,\underline c}    \ ,
\label{Poinadj}
\end{equation}
т.~е. отнести символ~$g$ не к элементу~$Z$, а к
элементу~$Z^*_{\mathbb C}$. В дальнейшем под полевым
представлением мы будем понимать действие группы Пуанкаре по
формуле~(\ref{Poinadj}) в комплексифицированном сопряжённом
пространстве~$Z^*_{\mathbb C}$.

Для бесконечномерных представлений понятие приводимости требует
уточнения. Сейчас мы разъясним, как устроены полевые
представления, которые мы здесь будем рассматривать, и
одновременно уточним, в каком смысле мы будем понимать
приводимость.

В случае унитарных представлений основным инструментом
исследования является теорема Макки (см., например,
\cite{Mackey1968}). Эта теорема сводит исследование представления
группы Пуанкаре~$\mathcal P$ к исследованию соответствующего
представления малой группы Лоренца~$\mathcal L_k$. Конструкцию
индуцирования по Макки можно распространить и на произвольные
линейные представления. Однако общее линейное представление (в
том числе симплектическое) группы~$\mathcal P$ может и не быть
индуцированным с малой группы. Тем не менее, представления,
индуцированные по Макки, составляют весьма широкий класс и мы
здесь фактически ими ограничимся.

Произведём преобразование Фурье поля и представим фурье-образ в
виде:
\begin{equation}
 \widetilde\varphi_i(k) = 2\pi\,\delta(k^2-m^2)\cdot a_i(k)  \ .
\label{fourdec}
\end{equation}
Величину~$m$ естественно назвать, как и в квантовой теории, массой
поля.

На основании формулы~(\ref{fourdec}) естественно считать, что
полевое представление распадается в прямую сумму положительно- и
отрицательно-частотных подпредставлений:
\[
 Z^*_{\mathbb C} = Z^{*\,(+)}_{\mathbb C} \oplus
                   Z^{*\,(-)}_{\mathbb C} \ .
\]
Эти два представления мы также будем называть полевыми. Проекторы
на положительно- и отрицательно-частотные подпространства в
фурье-пред\-ста\-вле\-нии устроены как операторы умножения на
функции $\theta(+k)$ и $\theta(-k)$, соответственно.

Далее, поскольку мы имеем здесь дело с вещественными полями,
$a_i(-k)=a^*_i(k)$. Поэтому естественно считать, что каждое из
подпространств $Z^{*\,(+)}_{\mathbb C}$ и $Z^{*\,(-)}_{\mathbb C}$
приводимо ровно в той же мере, что и другое. В связи с этим можно
ограничиться положительно-частотным подпространством.

Зафиксируем теперь вектор~$k^{(0)}$ на массовой поверхности:
$(k^{(0)})^2=m^2$. Рассмотрим подгруппу группы Лоренца,
оставляющую этот вектор неизменным, т.~е. так называемую малую
группу данного вектора. Обозначим эту
 группу~$\mathcal L_{k^{(0)}}$. Очевидно, набор величин
$a_i(k^{(0)})$, соответствующий различным значениям индекса~$i$,
преобразуется линейно под действием преобразований
 из~$\mathcal L_{k^{(0)}}$. Это комплексное представление
малой группы мы будем считать конечномерным. Аналогично унитарному
случаю, будем говорить, что рассматриваемое полевое представление
индуцировано данным представлением малой группы.

Будем далее по аналогии с унитарным случаем считать, что
дальнейшая приводимость полевого представления (т.~е. приведение
его положительно-частотной части) целиком определяется
приводимостью индуцирующего представления.

Заметим здесь ещё, что в случае массивных полей, т.~е. когда
$m>0$, малая группа~$\mathcal L_{k^{(0)}}$ является группой
трёхмерных вращений $SO(3)$. Эта группа компактна, и,
следовательно, её представление может быть сделано унитарным путём
введения надлежащего скалярного произведения. Поэтому индуцирующее
представление оказывается вполне приводимым, и классы
эквивалентности неприводимых компонент, так же как и в унитарном
случае, определяются единственным целым или полуцелым числом. Это
число, имея в виду связь с квантовым случаем, естественно назвать
{\it спином} рассматриваемой неприводимой компоненты.

В случае же безмассового поля малая группа, как известно, является
группой движений евклидовой плоскости~$E(2)$. Эта группа
некомпактна, и ситуация существенно усложняется по сравнению с
унитарным случаем. Скоро мы это увидим на примере
электромагнитного поля.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\myparagraph{Полевой осциллятор как индуцирующая гамильтонова
система.}
 Нетрудно заметить, что между описаниями гармонического
осциллятора и скалярного поля существует большое сходство. Сейчас
мы изучим это явление более детально.

Рассмотрим произвольное вещественное поле, которое в
фурье-пред\-ста\-вле\-нии записывается в виде~(\ref{fourdec}).
Пусть скобки Пуассона полевых величин, взятых в
фурье-представлении, имеют вид:
\begin{equation}
 \{\,\widetilde\varphi_i(k)\,,\,\widetilde\varphi_j(k')\,\} =
 B_{ij}(k)\cdot
 \Big[\,i\,\varepsilon(k)\cdot 2\pi\,\delta(k^2-m^2)\,\Big]\cdot
 (2\pi)^4\delta(k+k') \ .
\label{generalPoiss}
\end{equation}
Здесь $B_{ij}(k)$~--- некоторая тензорная функция. В случае
скалярного поля и нефизического электромагнитного поля, как
следует из формул статьи [I], эта функция просто является
константой. В общем случае это однако не так. Рассмотрим поэтому
её свойства более подробно.

Во-первых, поскольку $B_{ij}(k)$ домножается на
$2\pi\,\delta(k^2-m^2)$, можно считать, что она задана только на
массовой поверхности $k^2=m^2$. Во-вторых, используя антисимметрию
скобки Пуассона, получаем:
\begin{equation}
 B_{ij}(k)=B_{ji}(-k) \ .
\label{asymmpoiss}
\end{equation}

Далее, требования релятивистской инвариантности накладывают на
функцию $B_{ij}(k)$ очень жёсткие ограничения. Зафиксируем на
массовой поверхности какую-нибудь точку~$k^{(0)}$. Если известно
значение функции $B_{ij}(k)$ в этой точке, то, используя
лоренц-инвариантность, можно определить её значения во всех
остальных точках. Значение же $B_{ij}(k^{(0)})$ также не является
произвольным: оно должно быть инвариантным по отношению к действию
малой группы $\mathcal L_{k^{(0)}}$.

То, что скобка Пуассона является комплексификацией вещественной,
накладывает на $B_{ij}(k)$ ещё одно условие:
$B^*_{ij}(k)=B_{ij}(-k)$. С учётом~(\ref{asymmpoiss}) его также
можно записать в виде $B^*_{ij}(k)=B_{ji}(k)$.

Рассмотрим теперь величины $a_i(+k^{(0)})$ и $a_i(-k^{(0)})$. Как
было указано в пункте~\ref{reduction}, они образуют представление
малой группы $\mathcal L_{k^{(0)}}$. Очевидно также, что указанные
величины образуют представление группы сдвигов\footnote{Более общо
можно сказать, что указанные величины образуют представление
семипараметрической подгруппы группы Пуанкаре, включающей малую
группу $\mathcal L_{k^{(0)}}$ и сдвиги.}. Сдвиг на 4-вектор $l$
описывается формулами:
\[
 a_i(k^{(0)})  \,\to\, a_i(k^{(0)}) \cdot e^{+ik^{(0)}l} \ ,
 \qquad
 a_i(-k^{(0)}) \,\to\, a_i(-k^{(0)})\cdot e^{-ik^{(0)}l} \ .
\]
Введём обозначение $\tau=k^{(0)}l$. Можно тогда считать, что
величины $a_i(+k^{(0)})$ и $a_i(-k^{(0)})$ образуют представление
группы $\mathbb R\times\mathcal L_{k^{(0)}}$, где $\mathbb R$~---
аддитивная группа вещественных чисел, параметризованная
числом~$\tau$.

Будем теперь рассматривать величины $a_i(+k^{(0)})$ и
$a_i(-k^{(0)})$ как динамические переменные некоторой новой
системы. Эту систему мы будем называть {\it полевым осциллятором}.
С целью экономии обозначений будем записывать переменные полевого
осциллятора теми же символами, но в качестве аргумента будем
писать не вектор~$k^{(0)}$, а вещественное число~$\omega$; причём
$\omega=+1$ соответствует $k=+k^{(0)}$, и $\omega=-1$
соответствует $k=-k^{(0)}$. Фазовое пространство полевого
осциллятора получается овеществлением пространства индуцирующего
представления. Скобку Пуассона зададим формулами:
\[
 \{\,a_i(+1)\,,\,a_j(+1)\,\} = \{\,a_i(-1)\,,\,a_j(-1)\,\} = 0 \ ,
\]
\[
 \{\,a_i(+1)\,,\,a_j(-1)\,\} =\,iB_{ij}(+1)   \ .
\]
Предполагая невырожденность скобки Пуассона, можно, как обычно,
вычислить и симплектическую структуру.

Действие группы $\mathbb R\times\mathcal L_{k^{(0)}}$ на фазовом
пространстве полевого осциллятора оставляет неизменной скобку
Пуассона. Следовательно, оно является симплектическим.

При этом действие преобразования из $\mathbb R$, характеризуемого
параметром~$\tau$, мы можем интерпретировать как временной сдвиг
на промежуток времени~$\tau$ (\rql время\rqr{} полевого
осциллятора~--- параметр безразмерный).

Можно даже определить \rql координаты\rqr{} полевого осциллятора в
\rql момент времени\rqr{} $t$:
\[
 \textstyle
 \varphi_i(t)=
    \frac1{\sqrt2}\,
    \big(\,  a_i(+1)\cdot e^{-it} +
             a_i(-1)\cdot e^{+it}    \,\big) \ .
\]
Видно, что у осциллятора вещественного поля координаты
вещественны.

Далее, малая группа $\mathcal L_{k^{(0)}}$, как абстрактная
группа, от выбора вектора $k^{(0)}$ не зависит. Если осциллятор
описывать во внутренних терминах гамильтонова формализма (фазовое
пространство, симплектическая структура, симплектическое действие
группы $\mathbb R\times\mathcal L_{k^{(0)}}$), то его конструкция
также от выбора $k^{(0)}$ не зависит. Таким образом, каждому
$\mathcal P$-инвариантному полю однозначно сопоставляется
 $\mathbb R\times\mathcal L_{k^{(0)}}$-инвариантный полевой
осциллятор.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\myparagraph{Представление скалярного поля.} \label{sfrepr}
 Применим теперь изложенную схему к скалярному полю. Индуцирующее
представление в этом случае является одномерным тождественным
представлением. Полевой осциллятор~--- обычный вещественный
осциллятор с одной степенью свободы.

Таким образом, по отношению к действию группы Пуанкаре
пространство~$Z^*_{\mathbb C}$ распадается в прямую сумму
положительно- и отрицательно-час\-тот\-ных приводящих
подпространств, каждое из которых неприводимо. Эти два
подпространства мы обозначим $Z^{*\,(+)}_{\mathbb C}$ и
$Z^{*\,(-)}_{\mathbb C}$. Проекции элементов
пространства~$Z^*_{\mathbb C}$ на эти два подпространства будем
снабжать значками~${}^{(+)}$ или ${}^{(-)}$, соответственно:
\[
 \widetilde\varphi^{\,(\pm)}(k) =
       \theta(\pm k)\,\widetilde\varphi(k) \ ,
 \qquad
 \varphi^{\,(\pm)}(x)=
       \int \frac{d^4\!k}{(2\pi)^4}\,e^{-ikx}\,
       \widetilde\varphi^{\,(\pm)}(k)   \ .
\]

Используя формулы из статьи [I], можно вычислить скобки Пуассона
этих проекций:
\[
 \{\,\widetilde\varphi^{\,(\pm)}(k) \,,\,
     \widetilde\varphi^{\,(\pm)}(k')\,\} = 0 \ ,
\]
\[
 \{\,\widetilde\varphi^{\,(\pm)}(k) \,,\,
     \widetilde\varphi^{\,(\mp)}(k')\,\} =
 -\, \Big[\, i\,\theta(\pm k)\,\varepsilon(k)
             \cdot 2\pi\,\delta(k^2-m^2) \,\Big]
     \cdot (2\pi)^4\delta(k+k')       \ .
\]

В координатном представлении имеем, соответственно:
\[
 \{\,\varphi^{\,(\pm)}(x)\,,\,\varphi^{\,(\pm)}(x')\,\} = 0 \ ,
\]
\[
 \{\,\varphi^{\,(\pm)}(x)\,,\,\varphi^{\,(\mp)}(x')\,\} =
   - D^{\,(\pm)}_m(x-x') \ .
\]
Здесь символами $D^{\,(+)}_m(y)$ и $D^{\,(-)}_m(y)$ обозначены
положительно- и отри\-ца\-тель\-но-частотная части функции
$D_m(y)$:
\begin{equation}
 D^{\,(\pm)}_m(y)=\int \frac{d^4\!k}{(2\pi)^4} \, e^{-iky} \cdot
 \Big[\, i\,\theta(\pm k)\,\varepsilon(k)
         \cdot 2\pi\,\delta(k^2-m^2) \,\Big]     \ .
\label{Dpmfunc}
\end{equation}

Приведённые формулы оказываются весьма полезными при вычислении
пропагаторов квантованного поля. При этом сами по себе они
естественно вытекают из классической теории.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\myparagraph{Представление электромагнитного поля.}
\label{emrepres}
 Представление нефизического электромагнитного поля, согласно
пункту~\ref{reduction}, также распадается в прямую сумму
положительно- и отрицательно-частотных подпредставлений. Формулы
пункта~\ref{sfrepr} переписываются следующим образом:
\[
 \widetilde A_\mu^{\,(\pm)}(k) = \theta(\pm k)\,\widetilde A_\mu(k) \ ,
 \qquad
 A_\mu^{\,(\pm)}(x)= \int \frac{d^4\!k}{(2\pi)^4}\,e^{-ikx}\,
              \widetilde A_\mu^{\,(\pm)}(k)   \ ,
\]
\[
 \{\,\widetilde A_\mu^{\,(\pm)}(k) \,,\,
     \widetilde A_\nu^{\,(\pm)}(k')\,\} = 0 \ ,
\]
\[
 \{\,\widetilde A_\mu^{\,(\pm)}(k) \,,\,
     \widetilde A_\nu^{\,(\mp)}(k')\,\} =
 g_{\mu\nu}\cdot
 \Big[\, i\,\theta(\pm k)\,\varepsilon(k)
         \cdot 2\pi\,\delta(k^2) \,\Big]
 \cdot (2\pi)^4\delta(k+k')       \ ,
\]
\[
 \{\,A_\mu^{\,(\pm)}(x)\,,\,A_\nu^{\,(\pm)}(x')\,\} = 0 \ ,
\]
\[
 \{\,A_\mu^{\,(\pm)}(x)\,,\,A_\nu^{\,(\mp)}(x')\,\} =
   g_{\mu\nu}\, D^{\,(\pm)}_0(x-x') \ .
\]

Здесь $D^{\,(\pm)}_0(y)$~--- функции~(\ref{Dpmfunc}) при $m=0$. В
этом случае эти функции также можно записать в виде:
\[
 D^{\,(\pm)}_0(y) =
    \frac1{i\,(2\pi)^2} \cdot
    \frac1{\pm\, y^2-i\,0\cdot\varepsilon(y)} =
    \frac1{4\pi}\,\varepsilon(y)\,\delta(y^2) \pm
       \frac1{i\,(2\pi)^2}\, \mathcal P \,\frac1{y^2}       \ .
\]

Индуцирующее представление в этом случае~--- это комплексное
векторное представление малой группы~$\mathcal L_{k^{(0)}}$ при
$(k^{(0)})^2=0$. Подробное описание этого представления имеется в
статье~[V]. Оно имеет два композиционных ряда:
\[
 \{0\}= M^0_{\mathbb C} \subset M^\parallel_{\mathbb C} \subset
 M^{(+1)}_{\mathbb C} \subset M^\perp_{\mathbb C} \subset
 M^4_{\mathbb C} = M_{\mathbb C} \ ,
\]
\[
 \{0\}= M^0_{\mathbb C} \subset
 M^\parallel_{\mathbb C} \subset
 M^{(-1)}_{\mathbb C} \subset
 M^\perp_{\mathbb C} \subset
 M^4_{\mathbb C} = M_{\mathbb C} \ .
\]
При индуцировании эти композиционные ряды переходят в
композиционные ряды полевого представления:
\[
 \{0\}= Z^{*\,(+)\,0}_{\mathbb C}         \subset
        Z^{*\,(+)\,\parallel}_{\mathbb C} \subset
        Z^{*\,(+)\,(+1)}_{\mathbb C}      \subset
        Z^{*\,(+)\,\perp}_{\mathbb C}     \subset
        Z^{*\,(+)\,4}_{\mathbb C} =
               Z^{*\,(+)}_{\mathbb C} \ ,
\]
\[
 \{0\}= Z^{*\,(+)\,0}_{\mathbb C}         \subset
        Z^{*\,(+)\,\parallel}_{\mathbb C} \subset
        Z^{*\,(+)\,(-1)}_{\mathbb C}      \subset
        Z^{*\,(+)\,\perp}_{\mathbb C}     \subset
        Z^{*\,(+)\,4}_{\mathbb C} =
               Z^{*\,(+)}_{\mathbb C} \ .
\]
Здесь обозначения для подпространств естественно согласованы с
обозначениями статьи [I].

Полевой осциллятор в данном случае оказывается системой с
восьмимерным фазовым пространством.

В связи с разделением поля на положительно- и
отрицательно-частотные части, отметим также, что поскольку
электромагнитное поле вещественно, условие Лоренца на состояния
рассеяния можно записать тремя эквивалентными способами:
\[
 -\,i\,k_\mu\, a_\mu(k)^{\,\underline{\mathrm{rad}}} = 0 \ ,
\]
\[
 -\,i\,k_\mu\, a_\mu^{(+)}(k)^{\,\underline{\mathrm{rad}}} = 0 \ ,
\]
\[
 -\,i\,k_\mu\, a_\mu^{(-)}(k)^{\,\underline{\mathrm{rad}}} = 0 \ .
\]

Поскольку при квантовании положительно- и отрицательно-частотные
части поля играют различные роли, то, как станет ясно из
статьи~[VI], в квантовой теории имеется аналог лишь второго
варианта этого условия.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Mackey1968}
Дж.~Макки {\it\rql Представления групп в гильбертовом
пространстве\rqr}, приложение в кн.~\cite{Segal1968}.
 [G.~W.~Mackey ``Group representations in Hilbert space'',
appendix in the book~\cite{Segal1968}.]

\bibitem{Segal1968}
И.~Сигал {\it\rql Математические проблемы релятивистской
физики\rqr}, М.: Мир (1968).
 [I.~E.~Segal {\it ``Ma\-the\-ma\-ti\-cal problems of relativistic
physics''}, Providence, Rhode island: AMS (1963).]

\end{thebibliography}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
