
\documentclass{article}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

%Отделение формул в тексте
\mathsurround=3pt

%Русские кавычки
%левая
 \def\rql{\mbox{\strut\smash{\raisebox{-1.4ex}{''}}\hspace{-0.05em}}}
%правая
 \def\rqr{\mbox{\hspace{0em}``}}

%Размеры страницы
 \textwidth=17.5cm
 \oddsidemargin=-1cm
 \textheight=25.4cm
 \topmargin=-2.9cm

%Отступ в начале абзаца и расстояние между абзацами
\parindent=0pt
\parskip=5pt

%Расстояние от текста до сносок
\setlength{\skip\footins}{25pt plus 4pt minus 4pt}

%Оформление нижних колонтитулов
\makeatletter
\renewcommand{\@oddfoot}{--- ~Январь 2005 г.~ ---\hfil
\raisebox{0.3ex}{\tiny --- ~Д.~А.~Арбатский~ \rql Что такое \rql
релятивистское каноническое квантование\rqr?\rqr~
---}\hfil --- ~\thepage~ ---}
 \makeatother

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{Что такое \rql релятивистское каноническое квантование\rqr?}
\author{Д.~А.~Арбатский\footnote{ http://daarb.narod.ru/ , http://wave.front.ru/ }}
\date{Январь 2005 г.}
\maketitle

\begin{abstract}
Цель данного обзора~--- дать максимально доступное описание схемы
квантования релятивистских полей, которая получила название {\it
релятивистское каноническое квантование} (РКК). Здесь не даётся
полного точного изложения данной схемы. Но с помощью данного
обзора любой физик, даже не являющийся специалистом по
релятивистской квантовой теории, сможет получить общее
представление о содержании РКК, о его связи с другими
существующими подходами, о его новизне и о его плодотворности.
\end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Инвариантный гамильтонов формализм}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Общеизвестно, что для построения квантованных полей оказывается
полезным вычислять скобки Пуассона от полевых величин. А скобка
Пуассона является понятием гамильтонова формализма.

Если перед нами стоит задача создать полностью
релятивистски-инвариантную схему квантования полей, то хотелось бы,
прежде всего, сформулировать гамильтонов формализм в
релятивистски-инвариантной форме.

Эту задачу наука решала удивительно долго. Фактически, считалось
общепринятым, что гамильтонов формализм нельзя сформулировать в
явно релятивистски-инвариантной форме.

Однако с развитием методов симплектической геометрии, гамильтонов
формализм удалось сформулировать на основе таких базовых понятий,
у которых обнаружились релятивистски-инвариантные аналоги. Вот эти
понятия: фазовое пространство, симплектическая структура на
фазовом пространстве, каноническое действие однопараметрической
группы временных сдвигов на фазовом пространстве.

У релятивистских полей аналогами этих понятий выступают,
соответственно: инвариантное фазовое пространство, симплектическая
структура на инвариантном фазовом пространстве, каноническое
действие группы Пуанкаре на инвариантном фазовом пространстве.

\paragraph{Инвариантное фазовое пространство.}
Точка обычного фазового пространства характеризует динамическое
состояние системы в данный момент времени. Если для каждого
начального состояния системы уравнения движения разрешимы, причём
единственным образом, то можно говорить о взаимно-однозначном
соответствии между фазовым пространством системы (для заданного
момента времени) и множеством решений уравнений движения. Вот это
множество решений уравнений движения и называется {\it
инвариантным фазовым пространством}.

Инвариантное фазовое пространство обладает естественной структурой
многообразия. Если в качестве динамической системы выступает
релятивистское поле, то в качестве возможных координатных функций
на инвариантном фазовом пространстве могут выступать значения
величины поля в фиксированных точках пространства-времени.

Таким образом, с точки зрения структуры инвариантного фазового
пространства, возможные значения поля в фиксированной точке
пространства-времени~--- лишь одна из огромного множества функций
на инвариантном фазовом пространстве.

\paragraph{Симплектическая структура.}
Отсутствие на инвариантом фазовом пространстве каких-либо
выделенных координатных функций, с которыми следовало бы связывать
точки этого пространства, казалось бы, превращает его в
бессодержательную абстракцию.

Это однако не так. Ибо можно показать, что инвариантное фазовое
пространство, как и обычное, обладает симплектической структурой.

При сопоставлении точек инвариантного фазового пространства с
точками обычного фазового пространства, взятого в фиксированный
момент времени, оказывается, что их симплектические структуры
переходят друг в друга. Отсюда ясно, что существование
симплектической структуры на инвариантном фазовом пространстве~---
факт, являющийся {\it обобщением} теорем Лиувилля и Пуанкаре.

Что касается скобок Пуассона~--- то они определяются через
симплектическую структуру. Математическое определение их, по сути,
не меняется. Но поскольку это определение применяется к объектам
иной природы, оказывается, что такие скобки Пуассона являются
глубоким обобщением обычных. Например, их можно вычислять между
значениями поля в {\it разные} моменты времени.

\paragraph{Действие группы Пуанкаре.}
Если исходный лагранжиан поля релятивистски-инвариантен, то и
уравнения движения релятивистски-инвариантны. То есть при любом
преобразовании из группы Пуанкаре решение уравнений движения
переходит в решение.

Иначе говоря, группа Пуанкаре {\it действует} на инвариантном
фазовом пространстве.

Поскольку симплектическая структура на инвариантном фазовом
пространстве определяется через лагранжиан, она оказывается
инвариантной относительно действия группы Пуанкаре. То есть группа
Пуанкаре действует на инвариантном фазовом пространстве
канонически.

\paragraph{Полевые представления.}
Для целей квантования можно ограничиться линейными полями. Эти
поля характеризуются тем, что линейная комбинация решений
уравнений движения является решением. С точки зрения инвариантного
фазового пространства, можно сказать, что в этом случае оно
обладает естественной линейной структурой.

Группа Пуанкаре эту линейную структуру сохраняет. Таким образом,
группа Пуанкаре действует на инвариантном фазовом пространстве как
группа {\it симплектических} преобразований.

Поскольку для целей квантования оказывается важным изучить это
действие группы Пуанкаре методами теории групп, полезной
оказывается ещё такая терминология. Говорят, что линейные
релятивистские поля задают {\it симплектические представления}
группы Пуанкаре. Эти представления (а также их сопряжённые и
комплексифицированные) называют {\it полевыми представлениями}.

Мы не будем здесь углубляться в теорию полевых представлений.
Заметим лишь, что она во многом аналогична теории Вигнера-Макки
унитарных представлений группы Пуанкаре, но при этом она играет
для теории квантованных полей более фундаментальную роль.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Конструкция квантованного поля}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Итак, теперь мы уже имеем все необходимые структуры, из которых
{\it конструируется} квантованное поле. Вот эти структуры:
инвариантное фазовое пространство линейного классического поля,
симплектическая структура на этом пространстве, подходящим образом
классифицированные инвариантные (относительно группы Пуанкаре)
подпространства полевого представления, а также подходящее
множество классических полевых величин, которые \rql
квантуются\rqr.

В данном обзоре мы опустим описание самой конструкции
квантованного поля. С точки зрения математика-алгебраиста все
используемые при этом методы хорошо известны. Подобные методы
применяются при конструировании универсальных обёртывающих алгебр
для алгебр Ли, при конструировании грассмановых алгебр и~т.~п.

Приведём здесь перечень некоторых наиболее важных свойств
обсуждаемого метода квантования.
\begin{itemize}
\item
Квантование производится {\it конструктивно}. Свойства
квантованного поля (например, коммутационные соотношения) при этом
не постулируются, а вытекают из самой конструкции.
\item
Конструкция явно релятивистски-инвариантна.
\item
Метод даёт возможность увидеть, каким образом у квантовой системы
появляются те же интегралы движения, связанные с наличием группы
симметрии, что и у исходной классической системы. Таким образом,
удаётся сформулировать математически строгий квантовый аналог
теоремы Нётер.
\item
Метод позволяет также по-новому увидеть происхождение дискретных
симметрий. В том числе {\it антиунитарного} преобразования
обращения времени.
\item
Данная схема квантования включает в себя совершенно естественно
возможность квантования в пространстве с индефинитным скалярным
произведением.
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Применение к электромагнитному полю}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Проблема квантования электромагнитного поля была одним из главных
стимулов для создания РКК.

Давно известно, что для целей квантовой теории электромагнитное
поле нужно описывать с помощью векторного потенциала. Известно
также, что при попытке квантования такого векторного поля
возникает необходимость рассматривать индефинитное скалярное
произведение в квантовом пространстве состояний.

Индефинитное скалярное произведение, в отличие от
положительно-определённого случая, не задаёт топологии.

Эта проблема до сих пор просто замалчивалась (в учебной
литературе). По аналогии с некоторыми другими полями считалось,
что пространство состояний квантованного электромагнитного поля
{\it должно} быть гильбертовым, по крайней мере с топологической
точки зрения.

Метод РКК показал, что это {\it не так}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Другие применения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Метод РКК, разумеется, применим и к другим полям (например, к
скалярному, к электронно-позитронному и~т.~п.).

Известно, что, скажем, скалярное поле имеет единственное
квантование в гильбертовом пространстве. Такое квантование,
конечно, уже давно построено. И метод РКК (если ограничиться
положительно-определённым скалярным произведением) {\it не может}
приводить к другому квантованию.

Конечно, метод РКК приводит в этом случае к эквивалентному
квантованию. Но несомненное достоинство метода состоит в том, что
само построение при этом происходит в рамках общей схемы, без
каких бы то ни было \rql догадок\rqr, \rql классических
аналогий\rqr{} и~т.~п.

Так происходит потому, что метод РКК является {\it строгой
математической конструкцией}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Arb2002}
Д.~А.~Арбатский \rql О квантовании электромагнитного поля\rqr{}
(2002), \\
 http://daarb.narod.ru/qed-rus.html ,
 http://wave.front.ru/qed-rus.html ,
 arXiv:math-ph/0402003 . \\{}
 [анг.: D.~A.~Arbatsky ``On quantization of electromagnetic field''
(2002), \\
 http://daarb.narod.ru/qed-eng.html ,
 http://wave.front.ru/qed-eng.html ,
 arXiv:math-ph/0402003 .]

\end{thebibliography}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
